63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 2. Análise

Método da equação integral de Fredholm

Eudes Mendes Barboza 1 João Marcos Bezerra do Ó 1

1. Departamento de Matemática - Centro de Ciências Exatas e da Natureza - UFPB 2. Prof. Dr./Orientador - Departamento de Matemática Centro de Ciências Exatas e da Natureza - UFPB

INTRODUÇÃO:

O problema de Dirichlet consiste em encontrar uma função que seja solução para uma determinada equação diferencial parcial (EDP), no interior de uma região do espaço euclidiano, e que assume valores na sua fronteira. Foi a partir do século XIX, que surgiram os primeiros métodos de resolução do problema de Dirichlet. Esse nome é devido a Lejeune Dirichlet, que propôs uma solução através de um método variacional, conhecido como o princípio de Dirichlet. Existem outros métodos para resolver esse problema, tais como: método de Fourier, a função de Green, processo alternante de Schwarz, método da equação integral de Fredholm, entre outros. Nesse trabalho, apresentamos uma aplicação de uma do método da equação integral de Fredholm, que surgiu da ideia de transformar esse problema numa integral. Durante as décadas de 1870 e 1880, Neumann e Gustave Robim deram enormes contribuições para o seu desenvolvimento. Suas demonstrações baseavam-se no método de aproximações sucessivas. No entanto, seus resultados eram válidos apenas para regiões convexas. Erik Ivar Fredholm trabalhou com equações integrais mais gerais. Essa técnica deu origem a um resultado clássico da Análise Funcional, a Alternativa de Fredholm, que será usada para demonstrar o Teorema de NEUMANN-ROBIM, que garante a existência da solução clássica do problema de Dirichlet, na forma de um potencial eletrostático de camada dupla.

METODOLOGIA:

Procuramos aplicar o clássico resultado da Análise Funcional, a alternativa de Fredholm, para resolver o problema de Dirichlet, para isso através de uma motivação enfocamos uma aplicação desse problema. Em seguida enunciamos alguns resultados preliminares para serem usados durante a demosntração. Depois dividimos a demonstração em quatro etapas, que, gradualmente, conduzem ao resultado desejado.

RESULTADOS:

No caso de abertos do espaço euclidiano, com dimensão maior que 2, a extensão natural do teorema de Robin-Neumann consiste em procurar representações de funções harmônicas de forma mais complexas e ao contrário do que ocorre em dimensão 2, a equação integral não tem núcleo contínuo, de maneira que a Alterntiva de Fredholm deve ser utilizada após uma convolução de núcleos, até que seja atingida a compacidade do operador resultante.

CONCLUSÃO:

Podemos observar que o resulta proposto pelo teorema de NEUMANN-ROBIM tem validade para dimensão 2, no entanto, para se obter resultado semelhante em dimensões maiores se faz necessário o uso de técnicas mais elaboradas.

Palavras-chave: EDP, Problema de Dirichlet, Método da equação integral de Fredholm.