63ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 3. Geometria e Topologia

APLICAÇÕES DA TOPOLOGIA ALGÉBRICA À TEORIA COMBINATÓRIA DE GRUPOS

Maria Gorete Carreira Andrade 1 Ermínia de Lourdes Campello Fanti 1

1. Depto.de Matemática, IBILCE – UNESP – São José do Rio Preto – SP

INTRODUÇÃO:

A Topologia Algébrica consiste em associar estruturas algébricas a um espaço topológico, procurando obter informações sobre esse espaço. Por exemplo, para cada k número inteiro não negativo, podemos associar a X os grupos denotados por Hk(X) e Hk(X), denominados respectivamente de k-ésimo grupo de homologia e cohomologia singular de X. Um espaço topológico de interesse em nossos estudos é o espaço de Eilenberg-MacLane, denotado por K(G,1). Usando a (co)homologia singular do espaço K(G,1) define-se, para cada k inteiro não negativo, os grupos de homologia e cohomologia de um grupo G, denotados respectivamente por Hk(G) e Hk(G). Como dado um grupo G, sempre é possível construir um K(G,1) associado a G, para se calcular a (co)homologia do grupo G, basta calcular os grupos de (co)homologia singular do complexo K(G,1). Através do estudo de invariantes cohomológicos, podemos obter aplicações da Topologia Algébrica na Teoria Combinatória de Grupos. Essa teoria trata do estudo de grupos apresentados por geradores e relações e também das construções de novos grupos a partir de certos grupos dados. Neste trabalho, usando técnicas de Topologia Algébrica para o cálculo de certos invariantes cohomológicos, apresentaremos alguns resultados em Teoria Combinatória de Grupos.

METODOLOGIA:

Para a realização do trabalho foi necessário o estudo de diversos resultados da teoria de cohomologia e da teoria combinatória de grupos. Em particular realizamos estudos sobre a construção de produto livre de grupos G1*G2, produto livre amalgamado de grupos G1*TG2 e HNN-extensões G1*{T,f}. Alguns pré-requisitos em Topologia Algébrica foram também necessários. Além da cohomologia absoluta de grupos, também foram utilizados resultados da teoria de cohomologia relativa de grupos e da teoria de CW-complexos, particularmente complexos K(G,1).

RESULTADOS:

Os principais resultados obtidos no trabalho são sobre decomposição de grupos. Dizemos que um grupo G se decompõe sobre um subgrupo T se G = G1*TG2 com G1 diferente de T e T diferente de G2 ou se G = G1*{T,f}. A (co)homologia de um grupo pode ser calculada com coeficientes em um Z2G-módulo M. Neste caso, denotamos os grupos de homologia e cohomologia de G por Hk(G,M) e Hk(G,M), respectivamente. Se S é um subgrupo de G e M é um Z2G-módulo, temos um homomorfismo induzido em cohomologia pela inclusão de S em G. Esse homomorfismo é chamado de aplicação restrição e é denotado por resGS. Estamos interessados nesse homomorfismo no nível 1 de cohomologia, isto é, na aplicação resGS definida de H1(G,M) em H1(S,M). Se F = {Si: i I} é uma família de subgrupos de G, podemos definir a aplicação resGF de H1(G,M) no produto cartesiano dos grupos H1(Si,M). Através desse homomorfismo, definimos um invariante cohomológico que é dado pelo número 1 + dim Ker(resGF). Com o cálculo desse invariante para certas famílias de subgrupos, obtemos condições para um grupo G se decompor sobre um subgrupo T.

CONCLUSÃO:

Tendo em vista que a Teoria Combinatória de Grupos é de interesse nas áreas de Álgebra, Geometria e Topologia, os resultados apresentados nesse trabalho podem ser úteis nessas três áreas. Com métodos de Topologia Algébrica, particularmente teorias de (co)homologia e sequências de Mayer-Vietoris, é possível obter, sob certas hipóteses, condições para que um grupo G admita ou não certos tipos de decomposições.

Palavras-chave: invariantes cohomológicos, decomposição de grupos, cohomologia de grupos.