60ª Reunião Anual da SBPC

INTRODUÇÃO:

Uma função que nos auxilia na obtenção de soluções de equações diferenciais ordinárias é a função exponencial. Quando estendemos o estudo para sistemas de equações diferenciais, a função exponencial se estende de forma bastante natural para o que chamamos de exponencial de matrizes. Com esta matriz, gostaríamos de garantir existência e unicidade de solução para problemas de Cauchy envolvendo um sistema não homogêneo, e de solução limitada para certos sistemas não homogêneos.

METODOLOGIA:

Foram utilizados métodos de análise e álgebra linear.

RESULTADOS:

A matriz Y(t), NxN, que satisfaz o problema de Cauchy Y’(t)=AY(t), Y(0)=I_N é chamada de exponencial de matrizes e é denotada por e^tA. Utilizamos tal matriz para provarmos que uma solução do problema de Cauchy y’(t)=Ay(t)+f(t), y(t₀)=b, com f continua, existe, é única e tem como solução a soma de e^(t-t₀)Ab, que é a solução da parte homogênea deste problema, com uma solução parcial da equação não homogênea. Podemos, ainda, expressar a exponencial de matrizes como um polinômio em A envolvendo os autovalores desta matriz e soluções de problemas de Cauchy bem determinados. Com esta representação, conseguimos boas estimativas para definirmos e garantirmos existência e unicidade da matriz de Green de A, para com isso, mostrarmos que se a matriz A não possui autovalores imaginários puros e f é limitada em toda a reta, então existe uma única solução limitada da equação y’(t)=Ay(t)+f(t), cuja solução é dada como uma integral imprópria envolvendo a matriz de Green.

CONCLUSÕES:

Comparando os resultados da teoria de equações diferenciais ordinárias com coeficientes constantes, com sistemas de equações deste tipo, podemos concluir que a função exponencial e a exponencial de matrizes desempenham um papel bem semelhante quando procuramos soluções para problemas de Cauchy. No caso de obtermos solução limitada para sistemas não homogêneos, utilizamos a exponencial de matrizes para definirmos uma outra matriz, a matriz de Green, no entanto, a existência e a unicidade de solução limitada fica restrita ao caso onde a parte real dos autovalores da matriz A são diferentes de zero, ou seja, devemos impor uma certa condição sobre a matriz A.

Instituição de fomento: Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

Trabalho de Iniciação Científica

Palavras-chave: exponencial de matrizes, matriz de Green, problemas de Cauchy

E-mail para contato: jackson_luchesi@hotmail.com