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| A. Ciências Exatas e da Terra - 3. Física - 7. Física Geral | ||
| NOVOS POTENCIAIS ISO-ESPECTRAIS DE UM OSCILADOR ANARMÔNICO DE SEXTO GRAU | ||
| Rodrigo César Fonseca da Silva 2 (rodrigo-fonseca@bol.com.br), Aércio Ferreira de Lima 2 e Rafael de Lima Rodrigues 1 | ||
| (1. Departamento de Ciências Exatas e da Natureza, CFP-UFCG; 2. Departamento de Física, CCT-UFCG) | ||
| INTRODUÇÃO:
A supersimetria (SUSY) em Teoria de Campos (1974) é a única simetria relativística entre bósons e férmions compatível com a Teoria Quântica de Campos. A SUSY nos proporciona novas simetrias e uma atenuação das divergências em teorias de campos. No momento há uma grande perspectiva da existência da SUSY em Física de Altas Energias. Após a formulação da SUSY em mecânica Quântica por Witten (1981), surgiram algumas evidências fenomenológicas da SUSY a baixas energias, em Mecânica Quântica. A SUSY MQ tem sido aplicada principalmente como técnica de resolução espectral para potenciais invariantes de forma e, também, para se construir novos potenciais iso-espectrais em uma dimensão. A prescrição hierárquica de SUSY foi introduzida por Sukumar (1985) para resolver o espectro de energia de sistemas quânticos unidimensionais (R. de Lima Rodrigues, SUSY, monografia do CBPF, 2001). Recentemente tem sido destaque também a aplicação da técnica algébrica da SUSY para investigar a equação de estabilidade de kink, sóliton em (1+1)-dimensiões. Neste trabalho, analisamos um oscilador anarmônico com anarmonicidade do tipo sexto grau no potencial unidimensional. Há descobertas recentes de fenômenos (semelhante a uma transição de fase estrutural, formação de polaridade em sólidos, o conceito do falso vácuo na teoria de campos) cujo maior entendimento teórico requer a introdução de graus de anarmonicidade maiores no potencial, particularmente, um potencial de sexto grau. |
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| METODOLOGIA:
Estudamos os vários aspectos da supersimetria em mecânica, dando ênfase ao método de duas transformações SUSY sucessivas e os companheiros supersimétricos a fim de calcular os novos potenciais iso-espectrais para o oscilador anarmônico de sexto grau em uma dimensão. Nossas motivações principais estão voltadas para uma melhor compreensão de alguns métodos teóricos em Mecânica Quântica. Usando a abordagem da resolução da equação de Schrödinger via construção de hamiltonianos companheiros supersimétricos, definimos os operadores diferenciais de primeira ordem da quantização de Witten para introduzir uma função bem comportada dependente das coordenadas espaciais denominada de superpotencial. Os operadores de supercarga são os operadores de simetria, os quais, no caso mais simples da SUSY, possuem uma representação matricial 2x2 contendo um único elemento não nulo, que é exatamente um operador diferencial de primeira ordem. O hamiltoniano SUSY é o anti-comutador de duas supercargas. Nossa análise da Mecânica Quântica é baseada na técnica algébrica da Supersimetria, desenvolvida por Sukumar(1985), para a construção de novos potenciais iso-espectrais a partir de um potencial já conhecido (R. de Lima Rodrigues, supersimetria: da mecância clássica à mecânica quântica, monografia do CBPF, 2004). Contruímos um novo potencial iso-espectral aplicando o método que consiste em duas transformações SUSY sucessivas, a partir do modelo de um oscilador anarmônico de sexto grau. |
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| RESULTADOS:
Em uma primeira fatorização, definimos o hamiltoniano da equação de Schrödinger como sendo um produto de dois operadores mutuamente adjuntos, A e B adicionado da energia do estado fundamental de H, aqui sendo representado pela letra S, ou seja, H=BA+S. Define-se o seu companheiro supersimétrico invertendo a orderm dos operadores diferenciais de primeira, A e B, resultando em um hamiltoniano quase-iso-espectral, h= AB+S=H +AB-BA. Conseqüentemente, o potencial associado ao hamiltoniano h pode ser obtido a partir do potencial associado ao hamiltoniano H, menos a derivada de segunda ordem do logarítmo da função de onda do estado fundamental de H e, repetindo estes passos, podemos fazer um mapeamento dos autovalores de energia associados a ambos hamiltonianos, onde o nível de energia do estado fundamental do (n+1)-ésimo membro da hierarquia, é degenerado com o nível de energia do n-ésimo estado excitado do primeiro membro da hierarquia H, cuja equação de Schrödinger queremos resolver. Considerando uma segunda transformação SUSY sucessiva de h, definimos novos operadores diferenciais de primeira ordem, construímos um novo companheiro supersimétrico, que é iso-especrtral com o sistema quântico do oscilador anarmõnico. Usando a nova condição de aniquilação encontramos um novo potencial que possui o mesmo espectro de energia do potencial original. A função de onda do estado fundamental do novo potencial é construída através de uma equação diferencial de primeira ordem. |
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| CONCLUSÕES:
Na resolução espectral e o método supersimétrico, o problema da dinâmica da equação de Schrödinger independente do tempo correspondente a uma equação diferencial de segunda ordem na coordenada espacial, se convertem em um problema de cinemática que envolve operadores diferenciais de primeira ordem, contruindo uma hierarquia de hamiltoniano, cujos os autovalores de energia do n-ésimo estado excitado do primeiro membro da hierarquia H é degenerado com o estado fundamental do (n+1)-ésimo membro da hierarquia. Na segunda parte deste trabalho construimos uma nova classe de potenciais iso-espectrais, partindo do oscilador anarmônico de sexto grau, aumentando, portanto, o número de potenciais unidimensionais exatamente solúveis em mecânica quântica. Os novos potenciais dependem de um parâmetro real que é restrito em uma região, para garantir a normalização da função de onda. Plotamos a nova classe de potenciais e a sua função de onda do estado fundamental, para um caso particular dos respectivos parâmetros. O método supersimétrico considerado neste trabalho, baseado em duas transformações supersimétricas sucessivas, é equivalente ao método de espalhamento inverso adotado em mecânca quântica para deduzir um potencial para uma dada função de onda. (RCFS agradece ao PIBIC-CNPq-UFCG pela bolsa de estudos de iniciação científica.) |
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| Trabalho de Iniciação Científica | ||
| Palavras-chave: Supersimetria; mecânica quântica; potenciais iso-espectrais. | ||
| Anais da 57ª Reunião Anual da SBPC - Fortaleza, CE - Julho/2005 |