A SÉRIE HARMÔNICA E A COMPUTAÇÃO

 

Geraldo Ávila (Unicamp e UFG)

 

O objetivo da palestra é discutir a divergência da série harmônica, um fenômeno bem conhecido e de fácil demonstração. No entanto, essa divergência ocorre de maneira extremamente lenta. Para ilustrar esse fato, sugerimos somar os termos da série de forma a obter sua coma parcial , para diferentes valores de n. Mostramos, com a ajuda do computador, que, por maior que seja o número n, essas somas crescem tão vagarosamente que parecem indicar que a série seja convergente. Isso é interessante por mostrar como o computador pode iludir-nos. Embora seja um instrumento muito útil, mesmo para a descoberta de resultados teóricos na Matemática, precisa ser utilizado com o devido cuidado.

Hoje em dia, o computador vem sendo utilizado para implementar softwares sobre os quais às vezes nada sabemos; as operações são executadas cegamente sem que o usuário tenha a menor idéia do que esteja acontecendo. No caso da série harmônica, imaginamos um computador tão rápido quanto possa permitir a velocidade da luz, e com ele executamos a soma da série harmônica durante bilhões de anos, sem, contudo ultrapassar o valor . Mas como, se não temos como esperar bilhões de anos?! A resposta está nos processos aproximados da Matemática, subjacente ao software apropriado aos cálculos em pauta. Essa Matemática muito simples, baseada na função logarítmica, é devidamente explicada.