64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 1. Álgebra

TEORIA DAS CATEGORIAS: ADJUNÇÕES, COLIMITES E LIMITES

Fernando Lucatelli Nunes 1 Wilson Domingos Sidinei Alves Miranda 1

1. Departamento de Matemática, Instituto de Ciências Exatas - Universidade de Brasília

INTRODUÇÃO:

A teoria das categorias foi introduzida por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane em 1942 como parte de um trabalho de topologia algébrica. O assunto é muitas vezes considerado uma continuação do trabalho de Emmy Noether, uma das professoras de Mac Lane, em formalizar processos abstratos. Por outro lado, algumas das ideias que envolvem a teoria surgiram na Polônia na década de 1930, época na qual Eilenberg completava seus estudos de matemática nesse país. A teoria cresceu muito e sugeriu vários desenvolvimentos na matemática desde o seu surgimento, incluindo teoria de topos, feixes, teoria das categorias de dimensão mais alta, geometria sintética, teoria de categorias modelo, teoria axiomática de homotopia estável e teoria das categorias abelianas. Atualmente, a teoria das categorias compõe os fundamentos e a linguagem de diversas áreas da matemática. Em particular, ela tem papel fundamental na álgebra, ciências da computação, lógica, geometria algébrica e topologia algébrica. Este trabalho objetiva introduzir, divulgar e motivar um pouco da importância e relevância dessa teoria tanto em topologia algébrica quanto em outras áreas da matemática. Para isso, o trabalho desenvolve apenas os conceitos elementares da teoria, dando foco às construções relacionadas com adjunções, limites e colimites.

METODOLOGIA:

O trabalho foi concentrado no estudo dos conceitos básicos de categorias, incluindo exemplos como a categoria topológica, a categoria de homotopia da categoria topológica, a categoria dos grupos, a categoria dos grupoides, categoria dos espaços compactamente gerados e a categoria de categorias pequenas. Lema de Yoneda, adjunção de functores, colimites e limites foram os temas mais trabalhados no projeto, incluindo vários exemplos e aplicações. O projeto todo foi voltado para introduzir a base suficiente para estudos posteriores em mais teoria das categorias, como teoria das categorias abelianas, teoria das categorias modelo e teoria das categorias de dimensão mais alta. Como aplicação da teoria, o functor grupoide fundamental foi definido: ele é adjunto à esquerda e, portanto, preserva colimites. Disso segue uma versão do teorema de van Kampen. Durante o projeto, um pequeno material de divulgação sobre o assunto foi composto. Esse material será disponibilizado no endereço eletrônico http://studiis.wordpress.com/.

RESULTADOS:

As categorias algébricas e a categoria topológica são exemplos de categorias concretas. Uma categoria concreta é uma categoria que possui um functor representável covariante fiel e injetivo nos objetos (chamado functor do esquecimento). Em particular, toda categoria concreta é subcategoria da categoria dos conjuntos. Sob o ponto de vista categorial, um grupo é um grupoide um só objeto e a categoria dos grupos é subcategoria plena da categoria dos grupoides. Portanto o teorema de Cayley diz que todo grupo é uma categoria concreta. Usando uma versão fraca do lema de Yoneda, foi provado que toda categoria de um só objeto é uma categoria concreta: dessa forma, interpretamos a versão fraca do lema de Yoneda como uma generalização do teorema de Cayley. As construções mais comuns e importantes em categorias podem ser formalizadas via adjunções. O colimite foi definido como sendo o functor adjunto à esquerda (quando existe) do functor que associa cada objeto ao diagrama constante. Apesar de incompleto, esse tratamento é especialmente relevante para se entender o colimite de homotopia na teoria de categorias modelo. Foi provado que functores adjuntos à esquerda preservam colimites e functores adjuntos à direita preservam limites. E foram desenvolvidos e trabalhados vários exemplos de adjunções, incluindo produto tensorial em categorias monoidais fechadas e functor do esquecimento em categorias concretas que possuem objetos livres.

CONCLUSÃO:

A teoria das categorias forma a linguagem e a base para os fundamentos da teoria de homotopia moderna, da geometria sintética, da teoria dos tipos (teoria de homotopia dos tipos), dentre outros assuntos. O projeto desenvolveu a teoria de categorias em nível elementar, necessário para estudos posteriores em topologia algébrica, teoria de homotopia e ciências da computação. São poucos os axiomas de definição de uma categoria, no entanto, são suficientes para se desenvolver os métodos e resultados básicos sobre processos abstratos. Apesar do nível elementar do projeto, foi possível observar que, de fato, a teoria de categorias possibilita o desenvolvimento de certos argumentos relacionados com adjunção de functores ou com o entendimento de um functor que levam a resultados novos ou versões mais fortes de resultados clássicos de forma quase direta. A teoria das categorias é, também, responsável por tornar as ideias de um argumento clássico mais claras: no caso da topologia, mostrando quais passagens são formalismo ou álgebra e quais passagens dependem de algum resultado topológico.

Palavras-chave: Lema de Yoneda, Categoria concreta, Adjunção de functores.