64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 4. Matemática Aplicada

APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (EDO) EM CIRCUITOS ELÉTRICOS

FRANCISCO PEREIRA DE ANDRADE 1 DANIEL MARCUS DOS SANTOS 1

1. Profr./Dr./Joaquim Elias de Freitas - Orientador - Depto. de Ciências Exatas - UFRN

INTRODUÇÃO:

As equações diferenciais modelam inúmeros problemas dos mais diversos campos da Física. Estudaremos o caso de um circuito elétrico simples, mas, que é básico para os mais diversos casos. Ele contém três tipos de componentes: resistências, indutores e capacitores. Estes componentes são ligados em série, podendo haver repetição ou ausência de alguns deles, dependendo dos tipos de componentes presentes no circuito, sendo, conforme o caso, designados por: circuito RLC, circuito LC, circuito RC ou circuito RL. Para apresentar as leis do eletromagnetismo que aplicamos nesta modelagem usamos as unidades: Ω (lê-se ohm) que mede a resistência em R, H (lê-se Henry) que mede a indutância em um indutor L e F (lê-se Farad) que mede a capacitância em um capacitor L. Denominamos também de malha fechada a um grupo de componentes interligados em série formando uma poligonal fechada.

METODOLOGIA:

O trabalho desenvolvido é parte dos estudos observados e absorvidos sobre a disciplina Métodos e Modelos Matemáticos cursada no último período letivo da UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE – UFRN, sob orientação do professor Dr. Joaquim Elias de Freitas, decidi ir além de a mera disciplina e fazer pesquisas e buscar de novas descobertas. Através do material espelho do professor percebemos que a maneira, o método para se encontrar a solução analítica num circuito consiste em achar a solução geral da EDO homogênea associada e da EDO não homogênea, como também uma solução particular de uma equação diferencial ordinária linear não homogênea que é na verdade a corrente do circuito e esse desenvolvimento partem de algumas condições iniciais. Para um capacitor variável usado em rádios num circuito sua sintonia está determinada numa freqüência depende de um momento angular.

RESULTADOS:

Podemos perceber que as principais leis que regem o circuito RLC podem ser definidas como; Tensão consumida - nas leis do eletromagnetismo adaptadas a circuitos elétricos que dão origem as seguintes leis de consumos de tensão: Ri (t) È a tensão consumida em uma resistência com R ohms atravessada por uma corrente de i(t) Amperes; Li’ È a tensão consumida em um indutor com L Henrys atravessado por uma corrente de i(t) Amperes; 1/C ∫▒i(t)dt È a tensão consumida em um capacitor com C Farads atravessada por uma corrente de i(t) Amperes. Nesta última relação observamos que a carga Q no capacitor medida em Coulomb é Q(t)=∫▒i(t)dt , que nos permite interpretar a unidade de corrente A como A = Coulomb/segundo, isto é, i(t) medido em Amperes, indica quantos coulombs atravessam o circuito por segundo. Lei de Kirchhoff para Voltagem – Em uma malha fechada, a soma de todas as tensões geradas menos a soma de todas as tensões consumidas é igual a zero. Assim de acordo com as definições acima obtemos algumas equações que modelam um circuito RLC, e que na verdade derivarmos as equações e aplicarmos o teorema fundamental do calculo Obteremos uma EDO com coeficientes constantes. Depois para as soluções encontramos a solução geral da EDO homogênea e depois a outra solução particular aplicando o método dos coeficientes a determinar.

CONCLUSÃO:

Modelar um circuito simples é antes fazer estudos transitórios de algumas Leis que regem o eletromagnetismo são conceitos básicos de circuitos com certos parâmetros concentrados em noções de propagação de ondas eletromagnéticas em circuitos com parâmetros distribuídos. Essa modelagem de circuitos elétricos através de Equações Diferenciais Lineares Ordinárias com coeficientes constantes é compreensível para todos os estudantes, não só para os engenheiros elétricos e físicos.

Palavras-chave: EDO - MODELAGEM - SISTEMAS ELÉTRICOS