64ª Reunião Anual da SBPC

A. Ciências Exatas e da Terra - 5. Matemática - 1. Álgebra

Reticulados hiperbólicos via corpos ciclotômicos

Antonio Aparecido de Andrade 1 Edson Donizete de Carvalho 2

1. Departamento de Matemática - Ibilce - Unesp - São José do Rio Preto - SP 2. Departamento de Matemática - Feis - Unesp - Ilha Solteira - SP

INTRODUÇÃO:

A alta necessidade de obter novas estruturas algébricas e a necessidade da transmissão de dados através de canais com altas taxas de dados com melhor desempenho têm motivado a pesquisa sobre o processamento de sinais pressupondo a descoberta de novas estruturas matemáticas. O plano hiperbólico assim como o plano euclidiano possuem excelentes propriedades algébricas e geométricas que são úteis para obtenções dessas novas estruturas matemáticas. Ao mesmo tempo existem grupos de isometrias que atuam transitivamente em um polígono fundamental associado a uma tesselação regular. Contudo, no espaço euclidiano os grupos de simetrias associados a um polígono fundamental são dados por grupos Abelianos e no caso hiperbólico os grupos de simetrias associados são dados por grupos Fuchsianos.

METODOLOGIA:

O presente trabalho faz uso de corpos ciclotômicos com o auxílio da geometria hiperbólica, ordens quaterniônicas e grupos Fuchisianos.

RESULTADOS:

Neste trabalho, inicialmente, apresentamos alguns conceitos básicos da teoria dos números algébricos, como por exemplo, corpos ciclotômicos e suas principais propriedades. Em seguida, apresentamos os conceitos de grupos fuchsianos aritméticos, ordens quaterniônicas e introduzimos o conceito de reticulados e subreticulados hiperbólicos. Finalmente, apresentamos novas famílias de reticulados e subreticulados hiperbólicos via corpos ciclotômicos fazendo uso da geometria hiperbólica, onde apresentamos exemplos, e obtemos os índices de alguns particionamentos.

CONCLUSÃO:

Neste trabalho apresentamos novas construções de reticulados e subreticulados hiperbólicos via teoria algébrica dos números através de corpos ciclotômicos. Deste modo, com analogia dos reticulados hiperbólicos com a teoria da informação, neste trabalho, caracterizamos os conceitos e definições de região fundamental, matriz de Gram, matriz geradora, reticulado e subreticulado e o índice associado ao quociente de um reticulado por um subreticulado no contexto de uma estrutura hiperbólica. Neste sentido, obtemos novas classes de reticulados via espaços hiperbólicos.

Palavras-chave: Corpos ciclotômicos, Reticulados hiperbólicos, Grupos Fuchsianos.